Infinitul nu este ceea ce credeam. Matematicienii tocmai au descoperit două noi forme uluitoare ale acestuia

Infinitul nu este un număr obișnuit.Mai degrabă, este un concept.  Nu e un număr în sensul clasic, nu poți să-l atingi sau să-l scrii complet, dar e un concept esențial în matematică, știință și filozofie. Și, oricât ar părea de ciudat, matematicienii au creat de-a lungul timpului o întreagă scară a infinitului, în care fiecare nivel este mai mare decât cel anterior. Acum, însă, un nou tip de infinit amenință să dea peste cap această ordine și chiar să redefinească structura întregului univers matematic, relatează NewScientist.

Infinitul este o idee care a fascinat de secole. Îl întâlnim în matematică, în astronomie sau în filozofie. Îl întâlnim chiar în viața de zi cu zi. Ca exemplu elocvent, îl întâlnim atunci când spunem că „va dura o veșnicie până când vom avea o clasă politică așa cum ne dorim”. Practic, este invocată ideea de infinit. Dar ce înseamnă, de fapt, infinitul?

În termeni simpli, infinitul înseamnă „fără sfârșit”. Este ceva care nu se oprește niciodată, oricât ai merge mai departe sau oricât ai adăuga. Dacă te gândești la numerele naturale, 1, 2, 3, 4 șamd, vei observa că oricât ai număra, mereu mai există un număr următor. Asta înseamnă că sunt infinite.

În fizică și cosmologie, infinitul apare atunci când vorbim despre dimensiunile Universului, despre timpul fără început sau sfârșit, sau despre locuri unde legile cunoscute ale naturii se prăbușesc, cum ar fi în interiorul unei găuri negre. Acolo, infinitul descrie concentrarea extremă de materie sau energie, ceva ce nu putem înțelege complet cu mintea noastră.

De la Anaximandru la paradoxurile lui Zenon

Deși este greu de atribuit unei anume persoane, dată fiind raritatea izvoarelor scrise antice, putem spune azi că primul om care a enunțat cumva conceptul de infinit a fost filosoful grec Anaximadru din Milet. Asta undeva prin secolul al VI-lea î.Hr.

Anaximandru vedea infinitul (apeiron) ca principiu originar al lumii, o sursă nedefinită și eternă din care se naște totul. Era, evident, un concept mai apropiat de sacru decât de matematică sau logică.

Mai târziu, Zenon din Elea (sec. V î.Hr.) a pus infinitul sub lupă într-un mod paradoxal. Celebrele sale paradoxuri (cum ar fi cel al lui Ahile și broasca țestoasă) arătau că, dacă timpul și spațiul sunt divizibile la infinit, atunci mișcarea devine imposibilă. Zenon nu încerca neapărat să demonstreze că infinitul nu există, ci să provoace gândirea logică și să apere ideile maestrului său Parmenide, fondator al școlii eleatice.

Această școală filozofică, activă în secolul al V-lea î.Hr., susținea ideea că realitatea este unică, nemișcată și neschimbătoare, contrazicând astfel percepțiile obișnuite despre mișcare și pluralitate.

În ce consta paradoxul lui Ahile și al broaștei testoase

Să ne imaginăm, spunea Zenon, o cursă între Ahile, cel mai rapid alergător al vremurilor sale, și o țestoasă. Pentru a fi corect, Ahile îi oferă țestoasei un avans. Zenon susținea că, atunci când Ahile ajunge în locul de unde a pornit țestoasa, aceasta a mai avansat puțin. Când Ahile ajunge în noua poziție a țestoasei, ea s-a mișcat din nou înainte.

De fiecare dată când Ahile ajunge unde a fost țestoasa, ea este deja puțin mai departe. Așa că, adăuga Zenon, Ahile nu o va ajunge niciodată din urmă. Paradoxul nu reflectă realitatea fizică, ci provoacă ideea noastră despre spațiu, timp și diviziunea infinită a distanței, fapt ce pune în discuție conceptele fundamentale ale mișcării.

Astăzi știm că suma acelor pași (100 + 10 + 1 + 0,1 + …) formează o serie geometrică ce are o sumă finită. Cu alte cuvinte, Ahile o ajunge din urmă pe țestoasă în timp finit. Dar paradoxul rămâne fascinant pentru că ne obligă să la ceea ce înseamnă „infinit” și cum funcționează mișcarea în timp și spațiu. Zenon, de fapt, voia să demonstreze și faptul că noțiunea de infinit poate duce la contradicții dacă nu este bine înțeleasă.

 

Aristotel și Leibnitz

Aristotel (sec. IV î.Hr.) a fost primul care a încercat să pună ordine în această dezbatere. El a făcut o distincție esențială între infinitul potențial (ceva care poate continua fără oprire, cum ar fi adunarea numerelor) și infinitul actual (ceva complet, terminat, un „tot infinit” existent). Aristotel accepta doar infinitul potențial, considerând că infinitul actual nu are sens în realitate.

Această poziție a dominat gândirea europeană timp de aproape două milenii. În Evul Mediu, filozofii creștini au asociat infinitul cu Divinitatea. Mai exact, numai Dumnezeu putea fi cu adevărat infinit, iar matematica trebuia să rămână în limitele finite ale rațiunii umane. Cu toate acestea, unii gânditori, precum Nicolaus Cusanus în secolul al XV-lea, au început să speculeze ideea că infinitul ar putea fi și o cheie pentru înțelegerea lumii, nu doar o chestiune teologică.

O schimbare radicală a venit în Renaștere și mai ales în epoca modernă. Odată cu revoluția științifică, matematicienii precum Galileo Galilei au început să observe că mulțimile infinite au proprietăți ciudate: de exemplu, există la fel de multe pătrate perfecte (1, 4, 9, 16…) cât și numere naturale, deși pătratele par „mai rare”. Galileo a fost derutat, dar nu avea uneltele matematice necesare pentru a aprofunda acest paradox.

Abia în secolul al XVII-lea și al XVIII-lea, odată cu dezvoltarea analizei matematice, infinitul a început să fie tratat cu mai multă rigoare. Newton și Leibniz au inventat calculul diferențial și integral, bazându-se pe ideea de mărimi infinit mici, infinitesimale, care puteau fi folosite pentru a descrie mișcarea și schimbarea. Totuși, bazele acestor concepte rămâneau fragile și adesea criticate ca fiind ilogice sau confuze.

Revoluția lui Georg Cantor

Totul s-a schimbat în secolul al XIX-lea, când Georg Cantor, un matematician german, a creat o teorie complet nouă despre infinit. Cantor a demonstrat că există mai multe tipuri de infinit, unele mai mari decât altele. El a introdus conceptul de cardinalitate, o măsură a „mărimii” mulțimilor, și a arătat că mulțimea numerelor reale este mai mare decât cea a numerelor naturale, chiar dacă ambele sunt infinite.

Mai clar, dacă începi să numeri de la 0 la 1, la 2, apoi la 3 și așa mai departe, vei descoperi că, de fiecare dată, există un alt număr pe care să îl adaugi. Acestea sunt numerele întregi pozitive, iar asta ar fi o primă formă a infinitului. Pe de altă parte, dacă introduci în ecuație fracțiile sau numerele negative, ai tot un infinit. Numai că, evident, este unul mai mare decât primul.

A fost o descoperire șocantă și revoluționară, care a schimbat definitiv fundamentele matematicii.

Inițial, Cantor a fost criticat și chiar ridiculizat. Ideile lui păreau prea îndrăznețe, ba chiar periculoase pentru ordinea matematicii. Dar în timp, teoria sa a fost acceptată și a deschis drumul către matematica modernă, unde infinitul nu mai este doar un mister filozofic, ci un instrument esențial pentru înțelegerea realității.

Pe baza ideilor lui Cantor, matematicienii au construit o ierarhie de mulțimi infinite, un fel de scară infinită cu niveluri din ce în ce mai vaste, ca niște niveluri succesive, fiecare mai mare decât cel anterior.

 

Modelele de infinit care nu se supun regulilor matematice

„Oamenii au tot inventat noțiuni din ce în ce mai mari de infinit. Și toate păreau să se potrivească în această ierarhie logică”, declară Juan Aguilera de la Universitatea Tehnică din Viena, unul dintre autorii studiului recent publicat pe platforma ArXiv, în care se propune existența unor noi forme ale infinitului.

Aguilera și colegii săi au propus însă două noi „mărimi” de infinit, numite cardinali exactanți și ultra-exactanți, care nu respectă regulile ierarhiei. „Nu se integrează în această structură liniară. Mai degrabă, interacționează într-un mod extrem de straniu cu celelalte tipuri de infinit”, explică Aguilera.

Aceste mulțimi sunt atât de mari încât conțin copii matematice exacte ale propriei lor structuri, un fel de casă care include modele în mărime naturală ale ei însăși, dar și versiuni mai mici ale unor mulțimi mai mari, adică și „vecinătatea” și „orașul” în care se află casa.

Cardinalii ultra-exactanți merg chiar mai departe: trebuie să conțină și regulile matematice care permit construirea lor, ca și cum pereții casei ar fi tapetați cu planuri tehnice ale propriei construcții.

Aceste proprietăți bizare le fac să iasă din scara obișnuită a infinitului, încălcând unele dintre cele mai fundamentale reguli matematice.

Cum pot fi ele încadrate? Nu,  deocamdată nu pot fi încadrate în limitele cunoașterii noastre

Mai exact, scara infinitului are trei regiuni:

• Jos, infinituri mici care respectă axiomele – cele ale numerelor naturale și reale.
• Sus, infiniturile imense unde axiomele, inclusiv axioma alegerii, nu mai funcționează – o regiune „haotică”.
• Între ele, o zonă intermediară de infinituri care respectă parțial regulile.

Noua problemă e că noii cardinali nu par să se potrivească nicăieri: nu e clar dacă fac parte din zona „de mijloc” a infinitului, acolo unde axiomele încă funcționează, dacă sunt la marginea zonei „haotice”, unde regulile nu mai au sens, sau dacă nu cumva formează o a patra zonă, complet nouă.

„Nu e clar dacă sunt chiar la vârful regiunii intermediare sau dacă formează o a patra regiune, separată, care stă deasupra celor cunoscute”, spune Aguilera.

Această incertitudine nu e doar un detaliu teoretic – ar putea schimba felul în care înțelegem întreaga structură a matematicii. Dacă noile infinituri sunt acceptate, ar putea însemna că ideea unei ordini la cele mai mari scări ale infinitului e greșită și că, dincolo de un punct, domnește haosul.

Sau, dimpotrivă, ar putea duce la o nouă înțelegere a unui tip de ordine pe care încă nu o putem cuprinde.